Дійсні числа

Множину всіх натуральних чисел зазвичай позначають буквою 

N

.

 

Якщо до натуральних чисел приєднати число 

0

 та всі цілі від'ємні числа: −1,−2,−3,−4,...,

 отримаємо множину цілих чисел. Цю множину зазвичай позначають буквою Z

.

Якщо до множини цілих чисел приєднати всі звичайні дроби: 

23

;−

12

;

83

 тощо, отримаємо множину раціональних чисел. Цю множину зазвичай позначають буквою Q

.

 

Будь-яке ціле число 

m

 можна записати у вигляді дробу m1

, тому правильним є твердження про те, що множина Q

 раціональних чисел — це множина, що складається з чисел вигляду mn

;−

mn

, де m,n

 — натуральні числа.

Використовуючи введені позначення 

N

, Z

, Q

, слід пам'ятати:

1. Замість фрази «

n

 — натуральне число» можна писати n∈N

 (читається: «елемент n

 належить множині N

»).

 

2. Замість фрази «

m

 — ціле число» можна писати m∈Z

.

 

3. Замість фрази «

r

 — раціональне число» можна писати r∈Q

.

 

Зрозуміло, що 

N

 — частина множини Z

, а Z

 — частина множини Q

. Для опису цієї ситуації в математиці також є спеціальне позначення: N⊂Z,Z⊂Q

.

 

Зверни увагу!

Математичний символ 

∈

 називають знаком належності (елемент належить множині).

Математичний символ 

⊂

 називають знаком включення (одна множина знаходиться в іншій).

У математиці запис 

x∈X

 означає, що x

 — один із елементів множини 

X

.

 

Запис 

A⊂B

 означає, що множина A

 є частиною множини B

. Математики частіше кажуть так: A

 — підмножина множини B

.

 

Зверни увагу!

Множини в математиці зазвичай позначають великими буквами, а елементи множин — маленькими. 

А як записати, що елемент 

x

 не належить множині 

X

 або що множина A

 не є частиною (підмножиною) множини B

 ?

 

Для цього використовують ті самі символи, але перекреслені скісною рискою: 

x∉X;A⊄B

.

Раціональні числа як нескінченні десяткові періодичні дроби

Для всіх цих чисел можна використовувати той самий спосіб запису, про який поговоримо далі.

Розглянемо, наприклад, ціле число 

5

, звичайний дріб 722

 і десятковий дріб 8,377

.

 

Ціле число 

5

 можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу: 5,0000...

 Десятковий дріб 8,377

 також можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу: 8,377000...

 Для числа 722

 скористаємося методом «ділення кутом»:

 

 

 

Як бачимо, починаючи з другої цифри після коми відбувається повторення тієї самої групи цифр: 

18,18,18,...

. Отже, 722

 =0,3181818...

 . Коротше це записують так: 0,3(18)

.

Повторювану групу цифр після коми називають періодом, а сам десятковий дріб — нескінченним десятковим періодичним дробом.

До речі, число 

5

 також можна зобразити у вигляді нескінченного десяткового дробу. Для цього потрібно в періоді записати число 0

:

 

5=5,00000...=5,(0)

.

 

Зверни увагу!

Взагалі, будь-яке раціональне число можна записати у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу.