Цікаві факти

Методика введення поняття «ірраціональне число»

Ірраціональні числа (в перекладі з лат. «Нерозумне, яка не є раціональним», термін використовується М. Штіфель в 1544 р) діляться на алгебраїчні нераціональні і трансцендентні. ірраціональність числа «П» була обгрунтована І. Ламбертом в 1766 р Сувора наукова теорія дійсного числа з'явилася в другій половині XIX ст. Вейерштрасс представив дійсне число у вигляді нескінченного десяткового дробу; ірраціональне число - як нескінченну неперіодичних дріб, яка визначається числовими послідовностями - приближениями ірраціонального числа через брак і надлишку. Дедекинд - через побудову перетину на множині. Коші визначив дійсні числа через побудову фундаментальних послідовностей раціональних чисел.

Введення ірраціональних чисел може бути здійснено в школі по-різному.

Якщо ввести ірраціональні числа як неізвлекаемой коріння (А. П. Кисельов), то в учнів сформується уявлення про ірраціональні числа тільки як про неізвлекаемой коренях, тому доцільно показати школярам інший підхід через несумірність відрізків. Як приклад можна взяти боку рівнобедреного трикутника з кутом при вершині 36 ° і довжиною підстави, рівної раціональному числу. Р^ис- 11-2

Проведемо бісектрису кута при підставі даного трикутника, яка відсіче від даного трикутника подібний до нього. Подальше послідовне проведення биссектрис кута при підставі знову одержуваних рівнобедрених трикутників (див. Рис. 11.2), яке можна продовжувати до нескінченності, показує несумірність підстави і збоку вихідного трикутника.

Періодичність нескінченного десяткового дробу, що виражає раціональне число, випливає з поділу натуральних чисел, так як при такому розподілі може вийти тільки кінцеве число різних залишків, що не перевищують дільник. Отже, при нескінченному розподілі якийсь залишок повинен повторитися, а за ним повинні повторитися і відповідні залишки числа приватного - вийде періодична дріб.

У більшості підручників ірраціональне число розглядається як нескінченна неперіодичних десяткова дріб (по Вей- ерштрассу). У деяких підручниках - як довжина відрізка, несумірної з одиницею масштабу, а потім показується, як знаходити наближення цього числа у вигляді десяткових дробів. Далі необхідно встановити, що існує взаємно однозначна відповідність між множиною точок на числовій прямій і безліччю дійсних чисел. Оскільки ірраціональні числа вводяться для вимірювання відрізків, непорівнянних із одиницею довжини, то відразу виходить, що для кожного відрізка можна знайти дійсне число, що виражає його ставлення до одиниці довжини. У більшості підручників підкреслюється це взаємно однозначна відповідність. У деяких підручниках (Д. К. Тадея і ін.) Використовується підхід Кантора: для будь-якої стягують послідовності вкладених один в одного проміжків на прямий існує точка, що належить усім проміжків послідовності. Звідси і випливає безперервність безлічі дійсних чисел.

Звичайно, в загальноосвітній школі годі й доводити безперервність безлічі R, але необхідно показати відмінність у структурі множин раціональних і дійсних чисел. Безліч раціональних чисел щільно (між будь-яких двох раціональних - хоч греблю гати раціональних), але не безперервно. Безліч розривів більш густо. Н. И. Лузін запропонував таке порівняння: якщо уявити, що раціональні точки не пропускають сонячні промені, і поставити пряму на шляху променів, то нам здасться, що сонце пробивається майже суцільно. С. І. Туманов пропонує інше порівняння: якщо раціональні числа забарвити в чорний колір, а ірраціональні - в червоний, то пряма буде представлятися суцільно червоною. Про потужність ірраціональних чисел можна судити через розгляд їх як отриманих з раціональних порушенням періоду нескінченного десяткового дробу, так як для кожного періоду (раціональне число) можна запропонувати безліч його порушень (ірраціональних чисел).

З усіх теорій ірраціональних чисел більш доступною вважалася теорія Кантора - Мері, яка розглядає стягуються послідовності вкладених один в одного сегментів (рис. 11.3).

Мал. 113

Тому в багатьох підручниках результат дій над ірраціональними числами розглядається як число, укладену між усіма наближеними результатами, взятими з надлишку, і всіма наближеними значеннями, взятими через брак. Таке визначення не створює у учнів уявлення про результат дій над ірраціональними числами і взагалі про ірраціональний числі як точне число. Це підтвердили і експерименти В. К. Матушка. Проведена контрольна робота серед кращих учнів показала, що вони розглядають ірраціональні числа як неточні, що коливаються, наближені. Багато хто вважає, що числа л / 2, л / з, л / 8 не можна скласти. Причина та в невдалої термінології: «точний» корінь, «неточний» корінь. В. К. Матушка радить використовувати терміни «наближене значення кореня» п «точне значення кореня».

Також доцільно продемонструвати учням геометричну інтерпретацію пред'явлення ірраціональних чисел. Це дозволить їм співвіднести ірраціональне число з довжиною відрізка, яка виражається точним числом.

Одне з можливих геометричних побудов ірраціональних чисел можна здійснити з використанням теореми Піфагора (рис. 11.4).

Мал. 11.4

Дії з ірраціональними числами також доцільно почати з геометричного зображення суми ірраціональних чисел, наприклад, [2 + [5 (Див. Рис. 11.4). Ми знаємо, що можна точно побудувати відрізки, які мають таку довжину. Далі, використовуючи циркуль, відкласти їх послідовно на числовій прямій:

Слід звернути увагу учнів, що в результаті дій над ірраціональними числами можуть виходити як раціональні, так і ірраціональні. Для цього запропонувати приклади на додавання неперіодичних дробів.

В інших підручниках ірраціональне число вводиться як межа його раціональних наближень. Виникає логічне коло, так як до введення ірраціональних чисел не всяка фундаментальна послідовність раціональних чисел має межу. Крім того, необхідно переконатися, що різниця | х - а_п прямує до нуля, а для цього треба визначити саму різницю.